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Notations : Les vecteurs sont notés en grasw = dq/dt w' = dw/dt r' = dr/dt r'' = d²r/dt² i' = di/dt = w j j' = dj/dt = - w i u = 1/r Loi de newton : m a = F = - GMm/r² i avec a = d²OM/dt² d'où d²OM/dt² = - GM/r² i En coordonnées polaires (repère 0ij tournant avec le satellite ) : OM = r i dOM/dt = r' i + r i' = r' i + rw j d²OM/dt² = r" i + r'w j + r'w j + r w' j - rw² i = ( r" - rw² ) i + ( 2 r'w + rw' ) j or d²OM/dt² = - GM/r² i , donc : r" - rw² = - GM/r² et 2r'w + rw' = 0, mais 2r'w + rw' = 1/r d(r²w)/dt, donc d(r²w)/dt = 0 et par conséquent r²w = K ( K est une constante qui représente L/m L est le moment cinétique ) On a donc r" - rw² = r" - K²/r3 = - GM/r² ou r²r" - K²/r = - GM ou - r²r" + K² u = GM On montre que d²u/dq² = - r² r"/K² du/dq = d(1/r)/dq = d(1/r)/dt .dt/dq = d(1/r)/dt . 1/w = - r'/r²w = - r'/K et d²u/dq² = d(- r'/K)/dq = d(- r'/K)/dt.dt/dq = d(- r'/K)/dt.1/w = - r"/Kw = - r"r²/K² donc, on a bien d²u/dq² = - r² r"/K² et donc - r² r" = K² d²u/dq² GM = - r²r" + K² u = K² d²u/dq² + K² u donc d²u/dq² + u = GM/K² équation simple dont la solution est : u = 1/r = GM/K² ( 1 + e cos q ) C'est l'équation d'une ellipse ( si e<1 ) de grand axe a, de petit axe b et d'excentricité e avec e = (rM - rm )/ (rm + rM ) a = (rm + rM )/2 b = (rm rM)1/2 c = (rM - rm )/2 = e a K² = 2 GM rm rM/(rm + rM ) = GMb²/a rM = VM² rm²/(2GM - VM² rm ) K = VM rm = Vm rM r²w = K implique que la période T = 2pab/K, d'où T² = 4p²a²b²/(GMb²/a) = 4p²a3/GM donc T²/a3 = 4p²/GM Loi de Kepler Remarque : si e = 1, on a alors un
mouvement parabolique ( limite d'une ellipse pour e = 1 ), la vitesse
VM vaut alors (2GM/rm )1/2
qui représente la vitesse de libération du satellite |
Dérivées des vecteurs unitaires tournants, i et j
cos
-sin q dq/dt
-cos q dq/dt |
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K = r²w = r²dq/dt ,
donc r²dq = Kdt |