ETUDE DE MOUVEMENTS PLANS

Problématique : Comment comprendre et prévoir des trajectoires aussi diverses que celles du saut d’une grenouille, d’un boulet, d’une planète ou d’un satellite ? ( Voir p. 240 et 241 )

I Chute libre non verticale

C’est une chute avec une vitesse initiale non verticale pour laquelle on peut négliger la poussée d’Archimède et les frottements : le solide n’est soumis qu’à son poids.

1° Vecteur accélération

. Les composantes de sont déterminées dans le plan formé par et ( Voir doc. 1, 2 et 3 p. 242 et 243 ). Donc = ( a_x = 0, a_y = 0, a_z = -g ).

2° Vecteur vitesse instantanée

Le vecteur vitesse initiale . D’après doc.3 p.243.

Le vecteur vitesse varie au cours du temps suivant la relation .

Or , donc

3° Vecteur position instantanée

Le vecteur position initiale . D’après doc.3 p.243.

Le vecteur position varie au cours du temps suivant la relation.

Or , donc

4° Equations horaires paramétriques

Les équations donnant x(t), y(t) et z(t) sont les équations paramétriques.

Elles montrent que :

Le mouvement s’effectue dans le plan Oxz, en effet y = 0. ( car a_y = 0 et v_oy = 0, donc v_y = 0 et y = 0 )

Le mouvement sur l’axe Ox est uniforme, en effet a_x = 0 donc v_x = Cte.

Le mouvement sur l’axe Oy est uniformément varié, en effet a_z donc v_z ¹ Cte.

5° Equation de la trajectoire

C’est l’équation de la courbe dessinée par la trajectoire du solide dans le plan Oxz au cours de sa chute libre.

Elle est du type z = f(x) :

II Mouvements de satellites et de planètes

1° Lois de Kepler

Loi des trajectoires : Dans un référentiel héliocentrique la trajectoire du centre d’une planète est une ellipse dont le Soleil est l’un des foyers. Voir doc.5 et 6 p.244.

Loi des aires : le segment reliant le soleil et la planète balaie des aires égales pendant des durées égales. Voir doc.7 p.247.

Loi des périodes : Pour toutes les planètes du système solaire le rapport entre le carré de la période de révolution et le cube du demi grand axe est le même. T²/a³ = Cte.

Ces lois s’appliquent aux mouvements des satellites autour de la Terre dans le référentiel géocentrique.

2° Mouvement circulaire uniforme

a- Repère de Frenet

Dans ce type de mouvement changent constamment de direction. Voir doc.9 p.245.

On détermine leurs composantes dans un repère de Frenet, d’origine au centre d’inertie du corps étudié et de vecteurs unitaires . vecteur tangent au cercle dans le sens de rotation, vecteur de direction perpendiculaire à le trajectoire, et orienté vers son centre et vecteur perpendiculaire aux deux premiers.

Dans ce repère

b- Accélération normale

Pour un mouvement circulaire uniforme v = Cte (Þ dv/dt = 0 ) et R = Cte, donc la composante tangentielle de l’accélération est nulle et la composante normale v²/R est constante.

Dans un mouvement circulaire uniforme :.

Dans un mouvement circulaire et uniforme l’accélération est radiale ( de direction correspondant au rayon du cercle) et centripète ( orientée vers le centre du cercle).

3° Nature du mouvement des satellites et des planètes

Les satellites et les planètes ne s’écrasent pas sur l’astre attracteur et ne s’en éloignent pas non plus, donc le mouvement est circulaire et uniforme ( si sa vitesse augmente, il s’éloigne et si elle diminue il se rapproche).

a- Force gravitationnelle

Pour des astres à répartition de masse sphérique et séparés d’une distance grande devant leur taille ,

La force gravitationnelle exercée par l’astre attracteur est :. ( Voir doc.11 p.246 )

C’est une force radiale et centripète

G : constante gravitationnelle ( G = 6,67.10^-11 N.m².kg^-2); M : masse de l’astre attracteur, Terre pour les satellites et Soleil pour les planètes (kg) ; m : masse du satellite ou de la planète en orbite autour de l’axe attracteur ( kg) ; R : rayon de l’orbite du satellite ou de la planète (m) ; vecteur unitaire orienté du centre O de l’orbite vers le centre d’inertie du corps en orbite.

b- Application de la 2° loi de Newton

, avec la force gravitationnelle, radiale et centripète, c’est à dire orientée vers le centre de la trajectoire. Donc l’accélération est radiale et centripète : , et la 2° loi de newton

s’écrit : .

c- Détermination de la vitesse

. Pour un satellite terrestre R = R_T + h (Voir doc.11 p.246)

d- Détermination de la période de rotation

Elle est notée T, c’est la durée de la longueur d = 2pR à la vitesse v = (GM/R)^1/2, soit R : rayon de l’orbite ( m ); G : constante gravitationnelle (U.S.I); M : masse de l’astre attracteur (kg).

(relation en accord avec la 3° loi de Kepler :)

3° les satellites géostationnaires

Le satellite est géostationnaire s’il reste à la verticale d’un même lieu au dessus de la Terre. Ce qui est possible à la verticale de l’équateur avec une période de rotation égale à celle de la terre. Voir doc.13 p. 247

4° L’impesanteur

Tout objet ou toute personne en orbite circulaire est soumise à la même force, donc à la même accélération telle que.

Donc tout objet ou toute personne suit le même mouvement que le satellite sans la contrainte du satellite, contrairement au cas de l’ascenseur ou les objets et les personnes sont contraints au mouvement par le plancher de la cabine. Une personne, dans un ascenseur en chute libre est en impesanteur, car elle suit le mouvement de la cabine sans aucune contrainte. Elle n’a plus d’effort à faire pour se maintenir debout, car la cabine fuit sous ses jambes. C’est ce qui se passe dans le satellite.

Tout se passe comme s’il n’y avait plus de poids. C’est l’impesanteur.

III Récapitulatif

1° Chute libre non verticale

Grandeurs caractéristiques dépendant du temps :

Paramètres :

Conditions initiales :

2° Mouvements de satellites et de planètes

Grandeurs caractéristiques dépendant du temps:et .

Paramètres : M ( masse de l’astre attracteur )

Conditions initiales : et rayon de l’orbite R.

Temps caractéristique : T ( période de révolution )