OSCILLATIONS LIBRES DANS UN CIRCUIT RLC

Problématique : Que deviennent la charge et la décharge du condensateur dans un circuit qui comporte une bobine ? Comment évoluent les grandeurs électriques ( u_C(t), q(t) et i(t) ) dans un circuit RLC ?

Expérience préliminaire : Voir page 178 doc.1 et doc.2.

En (1) : La tension u_c oscille de part et d’autre de sa valeur finale E. Les oscillations d’abord fortes s’atténuent jusqu’à disparaître lorsque u_c se stabilise à la valeur E. C’est la charge oscillante du condensateur.

En (2) : La tension u_c oscille de part et d’autre de sa valeur finale 0. Les oscillations d’abord fortes s’atténuent jusqu’à disparaître lorsque u_c se stabilise à la valeur 0. C’est la décharge oscillante du condensateur.

Dans un circuit RLC la charge et la décharge deviennent oscillantes.

I Etude expérimentale de la décharge.

1° Les oscillations électriques libres

0=u_r’(t) + u_B(t) + u_c(t)

0= u_L(t) + u_r(t) + u_r’(t) + u_c(t) = u_L(t) + ( r + r’) i(t) + u_c(t) = u_L(t) + R i(t) + u_c(t) donc :

0 = u_L(t) + u_R(t) + u_c(t) ( où R = r + r’est la résistance totale du circuit )

L’échelon de tension est fourni par le générateur qui passe instantanément de la tension u_G = E à la tension u_G= 0 à l’instant t = 0 ou alors il est du à la fermeture instantanée d’un interrupteur qui place le circuit RC en court circuit.

La décharge du condensateur n’est pas instantanée.

La tension u_c(t) passe progressivement de sa valeur maximale U_m= E à sa valeur finale 0 par une suite d’oscillations autour de sa valeur finale 0. La charge q(t) du condensateur passe par une suite d’oscillations, de sa valeur maximale Q_m = C.E à sa valeur finale 0. Le courant de décharge i(t) est transitoire. Au début de la charge le courant est maximum, il diminue ensuite progressivement par une suite d’oscillations jusqu’à s’annuler lorsque le condensateur est totalement déchargé.

Les grandeurs électriques u_c(t), q(t) = C.u_c(t) et i(t) = u_R(t)/R sont des oscillations électriques amorties. Elles ne sont ni sinusoïdales, ni périodiques car leur amplitude décroît, elles sont appelées pseudo périodiques. La pseudo-période T est la durée entre deux passages consécutifs par la valeur nulle de la tension, celle ci variant dans le même sens. ( voir page 179 doc.4 )

Ces oscillations électriques sont dites libres, car elles apparaissent spontanément, sans source de tension sinusoïdales.

La décharge d’un condensateur dans un circuit RLC, donne naissance à des oscillations électriques libres amorties. Plus la résistance totale R du circuit (R = r + r’) est importante plus l’amortissement est rapide. L’amortissement est dû aux pertes d’énergie par effet joule.

2° Influence de la résistance

L’amortissement des oscillations augmente avec la résistance jusqu’à disparition complète des oscillations.

Selon la valeur de la résistance on distingue : ( voir p.179 doc.4 et 5.)

Le régime périodique lorsque R = 0, car il n’y a pas d’amortissement des oscillations.

La période des oscillations est appelée période propre notée T₀.

Le régime pseudo-périodique pour un amortissement faible. T » T₀

Le régime apériodique pour une absence d’oscillations.

Le régime critique est la limite entre le régime pseudo-périodique et le régime apériodique. Il est obtenu pour une résistance R = R_C, appelée résistance critique. Il correspond à la décharge la plus rapide possible du condensateur dans le circuit RLC.

3° Influence de L et C

Ils n’ont pas d’influence sur l’amortissement mais sur la période. T₀ = k . L^1/2 et T₀ = k’ . C^1/2.

II Etude théorique

1° Equation différentielle du circuit

i(t) 0=u_r’(t) + u_B(t) + u_c(t)

donc 0 = u_L(t) + u_R(t) + u_c(t) ( où R = r + r’)

u_L u_r’

soit L di/dt + q/C + R i = 0

Puisque i = dq/dt = et di/dt =

u_C On obtient L+ q/C + R=0

De la même manière q = C.u_C, donc i == C.et di/dt = = C.

On peut donc écrire LC+ u_C +RC= 0

2° Solution de ’équation différentielle

a- Dans le cas d’un circuit LC où R = 0

L+ q/C = 0 Þ + q/LC = 0

La solution est du type q(t) = Q_m cos () avec T₀ = 2π

La charge varie de manière sinusoïdale au cours du temps entre + Q_m et - Q_m à la période T₀. Q_m est l’amplitude et est la phase à l’origine.

On en déduit u_C(t) = q(t)/C = cos().

La tension varie de manière sinusoïdale au cours du temps entre + U_m = et - U_m = -.

De même on en déduit i(t) = = -sin().

L’intensité varie de manière sinusoïdale au cours du temps entre + I_m = et - I_m = -.

Avec l’équation différentielle LC+ u_C = 0 Û + u_C/LC = 0

on a la solution u_C(t) = U_m cos () avec T₀ = 2π

Remarque : [ T₀ ] = [ L C ]^1/2 = [ L/R . RC ]^1/2 = [ L/R ]^1/2 . [ RC ]^1/2 = [ t ]^1/2 . [ t ]^1/2 = [ T ]

b- Dans le cas d’un circuit RLC où R ¹ 0

La solution est le produit d’une exponentielle décroissante par une sinusoïdale,

correspondant à la sinusoïde amortie.

III Energie du circuit au cours des oscillations

1° Interprétation énergétique des oscillations

La résistance transforme l’énergie électrique en chaleur : c’est l’effet joule.

Lorsque R = 0, il n’y a pas d’effet joule donc l’énergie totale E_tot= Cte.

Avec E_tot = E_e(t) + E_m(t) = 1/2 Cu_C(t)² + 1/2 Li(t)² = Cte

Les fonctions u_C(t) et i(t) sont sinusoïdales donc les variations d’énergie E_e(t) et E_m(t) sont elles aussi sinusoïdales, mais la somme est toujours constante. Voir doc.9 p.182.

On constate un transfert d’énergie de la bobine au condensateur et vice versa (quand E_m augmente E_e diminue et quand E_m diminue E_e augmente) qui explique les oscillations électriques.

Quand E_m = 0, E_tot = E_e(max) = 1/2 C. et quand E_e = 0, E_tot = E_m(max)= 1/2 L..

Lorsque R ¹ 0, l’effet joule entraîne une diminution progressive de l’énergie. Voir doc.10 p.183.

2° Les oscillations électriques entretenues

Les pertes d’énergie par effet joule peuvent être compensées par une source d’énergie qui fournit la puissance rigoureusement égale à la puissance perdue par effet joule d’expression P_J= Ri(t)².

Dans ce cas l’énergie reste constante,donc les oscillations entretenues sont périodiques sinusoïdales

de période propre T₀ = 2π.